Aが有限生成アーベル群であるときA/2Aは有限群になる
証明
a∈A,a=x1q1+x2q2+・・・+xnqn,qi∈A,xi∈Zとする。
xiのうち奇数のものは1引いて偶数にする。元に戻すためにqiを加える。
すると
a=x1'q1+x2'q2+・・・xn'qn+qj+qk+・・・+qs,xi'は偶数。
a∈2A+qj+qk+・・・+qs,(qj,qk,...,qsは係数が奇数だったもの)
p=qj+qk+・・・+qsとするとp∈A
a∈2A+p
pは2^n通りで有限個
∴A/2Aは有限群
Q.E.D.