自分自身と{e}以外に部分群をもたない群は位数が素数の巡回群
証明
群Gの位数をnとする
x∈Gでxの位数がm＜nならば、＜x＞は位数mの部分群となる
よってxの位数はn
nが合成数の場合、n=mhとすると
y=x^hで、＜y＞は位数mの部分群となる
よって、nは素数
このとき、G=＜x＞となり、Gは位数が素数の巡回群である。
Gの位数が無限であるとき
xの位数が有限ならば、＜x＞は部分群となるから、xの位数は無限
この時、任意のiで＜x^i＞はGの部分群となる
よって、Gの位数は無限ではない
Q.E.D.
逆にGの位数が素数ならば、Gは巡回群で、純部分群を持たない。