位数が奇数のアーベル群の元を全て掛け合わせると単位元になる。
証明
解法１
∀x∈G（アーベル群）でx≠(inv)xつまりxx≠1つまりxの位数は2でないことを言えばよい。
位数がnの群の任意の元の位数はnの約数。nは奇数なので2は約数でない。Q.E.D.
補足
任意の元の位数が群の位数の約数になること。
群Gの元xの位数をmとする。xを生成元とする巡回群Hを考える。
群Gの元aはaHの元。
群Gの元bはbHの元。
b∈aHのとき、∃h∈Hでah=b。
よってbH=ahH=aHとなり、GはHで類別される。
G=H+a1H+a2H+...+anH
Gの位数が有限ならHの位数の倍数になる。つまりxの位数mはGの位数の約数。
解法２
群の位数をnとしたとき、任意の元のn乗は単位元になることを利用する。
群の元を全て掛け合わせたものをXとする。
X*X=1となる。∵元と逆元は一対一。
n=2k+1とする。∵nは奇数。
このときX^(2k+1)=(X*X)^k*X=X=1 Q.E.D.