K={a+bω;a,b∈Q}
I={a+bω;a,b∈Z}
ω=(1+√5)/2
α∈Kで
α^n∈Iならα∈I
証明
α∈KならN(α)∈Q,T(α)∈Q
α∈IならN(α)∈Z,T(α)∈Z
N(α)∈Z,T(α)∈Zならα∈Iを使う。NはノルムTはトレース。
N(α^n)=N(α)^n∈Z
よってN(α)∈Z
T(α)=s/t,t≠0,(s,t∈Z),(s,t)=1
N(tα)=t^2N(α)∈Z
T(tα)=s∈Z
よってtα∈I
a=t^(n-1)とするとaα^mは
m=nu+v(0≦v<n)だから
aα^m=t^(n-1)α^(nu+v)=t^(n-v-1)(tα)^v(α^n)^u∈I
α'をαの共役とするとaα^mの共役aα'^m∈I
a^2T(α)^2n=s^2n/t^2=aa(α+α')^2n=(2nCi)aα^iaα'^(2n-i)∈I
s^2n/t^2∈Qで、またs^2n/t^2∈Iだからt=±1
よってT(α)∈Z
∴α∈I
Q.E.D.
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